TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN

TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN

Una de demostración es un argumento deductivo que busca asegurar la verdad de una proposición matemática. En su argumentación es posible utilizar afirmaciones ya probadas (teoremas) o bien las afirmaciones iniciales (axiomas). Al igual que teoremas, suelen preferir el lenguaje natural, a lo cual se le conoce como lógica informal.

Las demostraciones más comunes son:

Demostración por Contraposición

Se forma negando ambos términos de una condicional e invirtiendo la dirección de la inferencia. La lógica establece que toda proposición equivalente a su contraposición.

“p ⇒ q” es equivalente a “~q ⇒ ~p”

(p ⇒ q) ↔ (~q ⇒ ~p”)

En lenguaje natural:

Si p, entonces q      =          Si no es p, entonces no es q

Ejemplo 1) notar que:    

    

X² es par       →        X es par

P         →        q

⇒  X no es par         →        X² es par

     ~q            →            ~p

Si X no es par (impar)        ⇒        (2n + 1)

⇒        X²2 = (4n² + 4n + 1) = 2 (2n² + 2n) + 1

= 2L +1

Se demuestra:

⇒ Si X no es par entonces X² no es par

     ~q            →            ~p

⇒ Si X no es par entonces X² no es par

     p              →            ~q

Ejemplo 2) Probar:

si a + c < b + c entonces a < b

p → q

Contraposición: a ≥ b entonces a + c ≥ b + c

⇒        

Determinación por Reducción al Absurdo

Su esquema lógico es parecido a la contraposición. La idea es que si al suponer cierta afirmación A, ésta implica algo absurdo o contradictorio, entonces A no puede ser cierta, por lo tanto su negación es cierta.

Su esencia yace en la noción de que si uno sugiere algo como cierto y no puede serlo, y usa las leyes lógicas correctamente, eventualmente se caerá su contradicción.

Definición: (p → q)  → ((p ∧ ~q) → (r ∧ ~r))

                        ó (p → q)  → ((r ∧ ~r) → (p ∧ ~q))

Notas:

·         Es una tautología: para cualquier combinación (VoF) de las variables, la implicación siempre es cierta.

·    r ∧ ~r siempre es falso: es una contradicción. Una proposición y su negación no pueden vivir simultáneamente. Entonces si q negada implica una falsedad, q debe ser cierta.

Su esquema también puede verse como:

[ ~q ⇒ (r ∧ ~r) ]  ⇒ q

Ejemplo:

si X ≠ 0 → X² ≠ 0

p              q

Supongamos que:

X^-1 = 0 (~q)

1 = X . X^-1 = X . 0 = 0

Demostración por Contraejemplo

Se aplica para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un “cuantificador universal”. Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición  que tenga una conclusión referida a todos los elementos de cierto conjunto.

Para demostrar la falsedad hasta exhibir un elemento que satisfaga la hipótesis pero no su conclusión.

Ejemplo:

1)    ∀ X ∈ R         ;           X² ≤ 0

Contraejemplo: 0 ⇒ 0² ≤ 0 = 0 ≤ 0 ⇒ Falso

2)    ∀ X ∈ R         ;           sen²X + cos²X = 2

Contraejemplo: 0 ⇒ 1 = 2 ⇒ Falso

3)    ∀ X ∈ R         ;           X² – 4 ≥ 0

Contraejemplo: 0 ⇒ 0² – 4  ≥ 0 ⇒ – 4  ≥ 0 ⇒ Falso

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***Tipos de Demostración***